Matematica e fisica

9.1 La cooperazione delle idee della matematica con quelle della fisica nell’azione regolativa della ragione superiore.

Il processo di astrazione della ragione che produce i modelli dei sistemi fisici elementari converge con il processo di astrazione matematica e i due processi si arricchiscono a vicenda. Le idee matematiche possono guidare la ragione nella costruzione dei modelli fisici e le idee che caratterizzano i sistemi fisici elementari possono guidare la ragione nel formulare idee matematiche.

L’idea di oggetti isolabili rispetto a certe proprietà e non ad altre, viene associata dalla ragione all’idea matematica di elementi appartenenti ad un insieme secondo una certa regola. È vero anche il viceversa. L’idea matematica secondo cui esistono regole e classi di elementi, guida la ragione nel riconoscere proprietà comuni e distinte degli oggetti. La ragione può condurre all’estremo il processo di astrazione sino al punto da costituire insiemi di elementi identici che si distinguono solo per quello che si definisce numero di elementi (cardinalità). Grazie al confronto visivo tra questi insiemi rappresentati graficamente, si induce la ragione di un bambino ad apprendere l’idea di numero. I matematici si servono di una definizione ancor più astratta e, quindi, indipendente dalla rappresentazione grafica degli elementi dell’insieme. Tale definizione si serve del concetto di insiemi equipotenti. Due insiemi sono equipotenti se si può definire una relazione biunivoca tra di loro, quindi se ogni elemento di un insieme è univocamente collegabile ad un elemento dell’altro insieme e, viceversa. Si definisce la cardinalità CARD(A) di un insieme A la classe degli insiemi equipotenti ad A. La cardinalità dell’insieme vuoto è anch’essa definita da una classe CARD(0). Dato un insieme A, si definisce il successivo di A come quell’insieme A+ che ha come elementi gli elementi di A uniti all’insieme A stesso: A+ = {A,{A}}^*. Con queste premesse si possono definire i numeri interi come classi di insiemi equipotenti nel seguente modo:

0 = CARD(0)

1 = CARD(0+) = CARD ({0})

2 = CARD({0}+) = CARD ({0,{0}})

e così via

Può apparire strano e controintuitivo definire i numeri come classi di classi, ma Russel nella sua opera “Principi della matematica” mostra come analizzando a fondo il concetto di numero sia facile accettare che esso sia una proprietà (concetto-classe) comune di una serie di classi equipotenti. Una proprietà o predicato individua una classe. Quindi, affermare che il numero è una proprietà comune di una serie di classi equivale a definirlo come classe di classi.

L’obiettivo che si persegue con questa definizione è quello di definire i numeri a partire solo da pochi enti “primitivi”, quali sono gli insiemi e le relazioni. Da questo esempio si vede che i sistemi matematici sono fondati su un’idea base di economia, secondo cui, sono migliori quelle definizioni e quei principi che, a parità di risultati, impiegano il minor numero di concetti o enti matematici (detti primitivi) che spesso si traducono in postulati. Questa idea di economia che governa i sistemi matematici si ritrova anche in altri ambiti, per esempio, nel famoso principio metodologico del rasoio di Occam: Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem (non moltiplicare gli elementi più del necessario).

Il sistema dei principi matematici che la ragione di gruppo della comunità scientifica possiede in un dato momento, la guida verso la formulazione di modelli fisici che, infine, convergono sugli enti matematici conosciuti. D’altra parte, i matematici autonomamente intensificando i processi astrattivi della ragione, elaborano nuovi enti e principi che sostituiscono i precedenti nell’ambito di un progressivo lavoro di generalizzazione e di sistematizzazione che consente, in un secondo momento, alla comunità scientifica, di formulare nuovi modelli fisici sempre più astratti ed universali.

L’idea di poter misurare gli oggetti, di stabilire le loro posizioni relative e di misurare il tempo con gli orologi avvalendosi di unità di misura convenzionali, viene ulteriormente impiegata come guida dalla ragione nel processo di astrazione per sviluppare le idee di punto geometrico, retta, piano, angolo. In questo modo, nasce la geometria euclidea come sistema coerente di teoremi fondati sulla definizione degli enti suindicati e su cinque postulati. L’idea di ricavare il valore di grandezze sconosciute a partire dal valore di altre grandezze conosciute guida la ragione verso l’elaborazione di un’idea ancor più astratta di quella di numero che, insieme al concetto di operatore, conduce allo sviluppo del calcolo letterale: l’algebra. Le idee della geometria e dell’algebra guidano nuovamente l’astrazione verso la formulazione dei concetti di sistema di coordinate dei punti e di equazioni traducibili in figure geometriche propri della geometria analitica. L’idea di causalità e l’idea-principio di ragion sufficiente guidano la ragione nella sintesi dell’idea di relazione tra gli enti che si traduce in ambito matematico nelle idee di relazione e di funzione matematica. Tali enti ricoprono un ruolo cruciale in ambito scientifico perché, come si è già anticipato, mediante essi si rappresentano le leggi fisiche. L’idea dell’infinito guida la ragione nell’affinare il proprio sistema di enti matematici con il calcolo infinitesimale. Inoltre, mutando un solo postulato della geometria euclidea, la ragione scopre la possibilità di definire nuove geometrie adatte a rappresentare punti, rette e superfici in spazi curvi e multidimensionali. Poiché il tempo può essere misurato mediante un numero, al pari di una misura spaziale lineare, esso viene matematicamente rappresentato mediante un insieme numerico ordinato di istanti.

Parallelamente, nell’ambito dei sistemi fisici, un corpo o una parte d’esso, di cui si intende ignorare la struttura, si identifica con un punto a cui si assegnano tre numeri che individuano le sue coordinate spaziali rispetto ad un sistema di tre assi coordinati avente origine in un punto O. Gli si assegna anche un quarto numero che rappresenta l’istante di tempo in cui si presenta la configurazione spaziale già descritta. I numeri di cui ci si serve per definire le coordinate spaziali e temporali dei punti in un sistema di assi coordinati appartengono all’insieme dei numeri reali. Un’ulteriore generalizzazione è rappresentata dalla definizione di spazio vettoriale, concetto che trova moltissime applicazioni in fisica.

*Le parentesi graffe racchiudono un insieme di elementi. Un insieme {A} può essere elemento di un altro insieme{{A}}.

Il testo è tratto dal nono capitolo del libro “I livelli della ragione” di Alvise Giubelli

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