I concetti logici complementari di esistenza e di non esistenza.

Il testo è tratto dal capitolo dodicesimo del libro “I livelli della ragione” di Alvise Giubelli

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12.21 Le funzioni proposizionali e le classi. La classe vuota. I concetti logici complementari di esistenza e di non esistenza.

Nell’ambito dell’analisi logico-matematica i numeri vengono definiti mediante classi, mentre il concetto di classe presuppone quelli di proposizione, funzione proposizionale e variabile. Si ricorda che una proposizione è del tipo F_b(a) = “a è un b” dove a è un soggetto e b un predicato. Una funzione proposizionale è del tipo F_b(x) = “x è un b” verificata per x (variabile), inteso come “qualsiasi elemento”. Se si definisce la classe come l’insieme di elementi che soddisfano F_b(x) allora ad ogni funzione proposizionale è associabile una classe. In particolare, la classe nulla è la classe associata alla funzione proposizionale per cui non esistono elementi x che la verifichino e mediante tale classe si definisce il numero zero^*. La classe con un solo elemento è la classe associata alla proposizione “dato x, non esiste y diverso da x” e, mediante tale classe, si definisce il numero 1. La variabile non indica un elemento particolare, ma “qualsiasi elemento”. Un altro modo per dire la stessa cosa è quello di pensare alla variabile come ad un’espressione in cui compaiono elementi particolari separati dalla disgiunzione nel modo seguente: x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨…∨ xn. In realtà se la si pensa in questo modo, si presuppone automaticamente la possibilità di elencare tutti gli elementi che possono occupare il suo posto all’interno di una proposizione, ma ciò preclude l’eventualità che vi siano infiniti elementi di questo tipo. L’impiego dell’aggettivo “qualsiasi” senza alcun riferimento ad un elenco finito, renderebbe legittimo associare una funzione proposizionale anche ad una classe infinita di elementi. La locuzione “qualsiasi elemento” denota un elemento tra tutti, ma nessuno in particolare. Nel definire la classe nulla e quella con un solo elemento, si è impiegata la nozione di esistenza che non coincide con quella di esistenza fisica fondata sull’esperienza, piuttosto concerne la definibilità di enti matematici nell’ambito di un sistema concettuale coerente. Lo zero esiste, perché esiste la classe nulla e questa esiste perché esistono funzioni proposizionali false per “qualsiasi elemento” o, in altre parole, perché esiste il concetto-classe di non esistenza. La garanzia che vi siano funzioni proposizionali false per qualsiasi valore della variabile è fornita dal sistema tautologico dei concetti preesistenti della logica o della matematica. Infatti, per esempio, la negazione di una tautologia è una proposizione sempre falsa. La funzione proposizionale F_b(x) ∧ ¬F_b(x) rappresenta le antinomie e corrisponde alla classe vuota che, quindi, “esiste”. La funzione proposizionale “x è esistente” risulta, quindi, vera quando x è la classe vuota e per tale ragione esiste anche la classe associata a questa funzione proposizionale che coincide con la classe che contiene solo l’insieme vuoto come suo elemento e, mediante tale classe, si definisce il numero 1. Analogamente, La proprietà di esistenza di tale classe e dell’insieme vuoto da origine all’esistenza di una nuova classe a cui è associabile il numero 2 e così via. Questo procedimento definitorio, già spiegato precedentemente in modo dettagliato che si identifica con l’induzione matematica, non è altro che il primo infinito. Dato un numero n qualsiasi di elementi e lo zero, si ottiene automaticamente un insieme di n+1 elementi, quindi se esiste lo zero e se, come si è mostrato, da ogni numero n deriva l’esistenza del numero n+1, allora nessuno di questi numeri corrisponde al numero dei numeri finiti. Se ogni classe ha un numero, anche la classe dei numeri finiti deve averlo, ma per quanto detto non può essere finito, quindi è infinito. Il concetto matematico di infinito segue, pertanto, dal concetto di esistenza o, complementarmente, dal concetto di inesistenza.

12.22 L’induzione matematica e il concetto di infinito come esempi rappresentativi dell’attività di riflessione della ragione sui concetti.

Se si afferma che esiste un ente A si sostiene automaticamente che A possiede la proprietà dell’esistenza e con ciò si ammette anche l’esistenza di tale concetto-classe. Quindi, nell’affermare l’esistenza di un ente si afferma necessariamente l’esistenza di due enti: l’ente stesso e il concetto-classe della sua esistenza associato alla funzione proposizionale “x è esistente”. Se si ammettono due enti, si afferma la loro esistenza più quella del concetto-classe di esistenza dei due suddetti enti e così via. Questo argomento può essere reiterato in modo da realizzare la dimostrazione dell’infinito data precedentemente. Parmenide^* discuteva dell’infinito in modo simile sostenendo che, se si ammette l’esistenza dell’1, allora significa che si attribuisce all’1 la proprietà dell’essere, quindi vi è l’essere, così che l’1 e l’essere sono 2 e così via. Nel caso dell’aritmetica, prendendo avvio dallo zero o dalla classe vuota, si fa riferimento alla proprietà di non esistenza di termini in grado di verificare una funzione proposizionale piuttosto che alla proprietà complementare di esistenza, ma il procedimento è analogo, in quanto ammettere l’esistenza della classe vuota equivale ad affermare l’esistenza di un ente. Va notato che, poiché l’esistenza logica si realizza con la sintesi di un concetto che deve integrarsi coerentemente nell’ambito di un pre-“esistente” sistema di concetti logico-matematici, non è possibile parlare logicamente di esistenza senza presupporla. In questo senso l’essere o il concetto di esistenza logica è indefinibile. Si ricordi che nel sistema dei concetti logico-matematici si considerano indefinibili certi enti che corrispondono nel più ampio sistema concettuale della ragione a concetti così radicati da essere considerati autoevidenti, pur trattandosi di idee regolative che la ragione probabilmente formò induttivamente. Da ciò che si è detto, nasce un’ulteriore ragionamento plausibile. L’induzione matematica sembra essere un esempio che la ragione stessa considera rappresentativo della propria attività di riflessione sui concetti. Infatti, il procedimento induttivo appena descritto può essere riformulato nel modo seguente. La constatazione da parte della ragione dell’esistenza di un concetto implica necessariamente la constatazione dell’esistenza di un sistema concettuale rispetto al quale esso esiste. Il concetto di sistema concettuale proprio della ragione di terzo livello esiste perché la ragione elabora delle filosofie i cui concetti esistono, a loro volta, nell’ambito di una ragione di un livello superiore e così via. In altre parole, il concetto di induzione matematica o, equivalentemente, il concetto di infinito matematico sembra essere in qualche modo rappresentativo dell’infinita stratificazione della ragione o, equivalentemente, della sua potenzialmente infinita attività di riflessione.

* Per ogni x vale ¬F_z(x) ↔ non esiste x tale che sia verificata F_z(x), dove z indica il predicato associato alla classe vuota.

*“I Principi della matematica” (B. Russel) Cap. XLIII Par. 339

Il testo è tratto dal capitolo terzo del libro “I livelli della ragione” di Alvise Giubelli